Squaring the Circle - een verheldering

Ik heb in de loop der jaren veel artikelen geschreven waarin 'Squaring the Circle' (StC) een meer of minder belangrijke rol speelde. Bijna altijd betrof het hier StC gebaseerd op omtrekken (een vierkant en een cirkel met identieke omtrek). Ontelbare emails heb ik ontvangen, waarin ik er op gewezen werd dat StC betrekking heeft op oppervlaktes (een vierkant en cirkel met identieke oppervlakte) en niet op omtrekken. Met dit artikel zal ik laten zien dat er absoluut geen verschil is tussen StC gebaseerd op omtrekken en StC gebaseerd op oppervlaktes.

Ik gebruik altijd het Engelse ‘Squaring the Circle’ (hetgeen oa vertaald kan worden als het vierkant maken van de cirkel), omdat de Nederlandse term 'Kwadratuur van de Cirkel' al direct het misverstand oproept dat StC altijd en alleen oppervlaktes betreft.
StC is een magisch en mystiek fenomeen dat sinds de oudheid vele grote geesten in haar greep heeft gehouden. De vraag is of het mogelijk is om, met behulp van alleen passer en liniaal een cirkel te construeren met exact dezelfde oppervlakte als een gegeven vierkant. De liniaal mag alleen worden gebruikt om lijnen te trekken en niet om te meten. In de loop der eeuwen zij ontelbare pogingen ondernomen om het ‘probleem’ op te lossen. Pas in 1882 werd door Ferdinand von Lindemann bewezen dat het vraagstuk niet oplosbaar is. Grote boosdoener hierbij is het getal Pi. Het feit dat Pi een transcendent getal is, zorgt ervoor dat het onmogelijk is beginnend met een vierkant een cirkel te construeren met een oppervlakte gelijk aan die van het vierkant. Of andersom, beginnend met een cirkel.


StC gebaseerd op oppervlaktes		StC gebaseerd op omtrekken

Talloze boeken zijn er over StC geschreven. Het fenomeen staat centraal in ontelbare artikelen. Nagenoeg altijd gaat het hierbij om StC gebaseerd op oppervlaktes. Dit heeft mede tot het misverstand geleid dat de onoplosbaarheid van StC alleen betrekking heeft op StC gebaseerd op oppervlaktes. Het is echter ook onmogelijk om met behulp van alleen passer en liniaal een cirkel te construeren met exact dezelfde omtrek als een gegeven vierkant. En ook hier geldt dat het transcendent zijn van Pi de beperkende factor is.
Er is in de kern totaal geen verschil tussen StC gebaseerd op oppervlaktes en StC gebaseerd op omtrekken. Het zijn tweelingbroers (of zussen). De volgende diagrammen tonen hoe eenvoudig het is om in te zien dat er geen verschil is tussen beide StC’s.

We beginnen met een vierkant met zijde A. De oppervlakte van het vierkant is dan A kwadraat (A^2). Zie diagram linksboven. We maken nu Squaring the Circle gebaseerd op oppervlaktes. Met andere worden we tekenen een cirkel (met straal r) met dezelfde oppervlakte als het vierkant. De formule om de oppervlakte van een cirkel te bereken, is pi maal de straal in het kwadraat (r^2). Deze oppervlakte moet gelijk zijn aan A kwadraat (oppervlakte van het vierkant). Hieruit volgt dat de straal in het kwadraat (r^2) gelijk is aan A kwadraat gedeeld door pi (A^2/pi). De straal van de cirkel (r) is gelijk aan A gedeeld door de wortel uit pi. Zie diagram rechtsboven.

Voordat we verder gaan, berekenen we de omtrek van de rode cirkel. De formule hiervoor is 2 * pi * de straal (r). De straal hebben we in het vorige diagram uitgerekend (A gedeeld door de wortel uit pi). Dit brengt de omtrek van de rode cirkel op (2 * pi * (A gedeeld door de wortel uit pi)). Oftewel 2 maal A maal de wortel uit pi. Zie diagram linksboven.

We gaan nu verder met squaring the circle. We construeren een cirkel (met straal R) die precies in het initiële vierkant past. De straal van deze cirkel (R) zal per definitie gelijk zijn aan de helft van de zijde van het vierkant. Maw R = ½ * A. De oppervlakte van deze cirkel is pi maal R kwadraat, oftewel pi maal A kwadraat gedeeld door 4 ((pi * A^2)/4). Zie diagram rechtsboven.

We maken nu een nieuw vierkant waarvan de oppervlakte gelijk is aan de groene cirkel (squaring the circle gebaseerd op oppervlaktes). Dit vierkant heeft dus een oppervlakte van pi maal A kwadraat gedeeld door 4 ((pi * A^2)/4). De zijde van het vierkant is dan de wortel hieruit. Oftewel de wortel uit ((pi * A^2)/4) hetgeen gelijk is aan A maal de wortel uit pi gedeeld door 2. Zie diagram linksboven.
Hiermee hebben we een unieke situatie bereikt. De omtrek van het blauwe vierkant is 4 maal de zijde. Dit is 4 maal A maal de wortel uit pi gedeeld door 2. Oftewel 2 maal A maal de wortel uit pi! Zie diagram rechtsboven.

De omtrek van het blauwe vierkant is gelijk aan de omtrek van de rode cirkel. Squaring the Circle gebaseerd op omtrekken! Het kost slechts twee eenvoudige stappen om van Squaring the Circle gebaseerd op oppervlaktes naar Squaring the Circle gebaseerd op omtrekken te geraken. Zoals eerder gezegd, is er in de kern totaal geen verschil tussen StC gebaseerd op oppervlaktes en StC gebaseerd op omtrekken. Het zijn tweelingbroers (of zussen).
Nu we dit misverstand uit de weg hebben geruimd, kunnen we terugkeren naar de diepere vragen rondom Squaring the Circle. Bijvoorbeeld de vraag wat pi werkelijk is. Niet alleen de wiskundige pi, maar vooral de metafysische pi.
Lees nogmaals Squaring Yin Yang
En ook Zeven, Negen, Tien en Pi
Beide artikelen schreef ik in 2008. Dat is 2, dan twee cirkels 00, en dan twee vierkanten 4 + 4 = 8.
Lees ook Barbury 2008 Mysterie opgelost
Dat artikel eindigt met
"Zodra je pi volledig doorgrondt, zul je het geheim van het leven hebben doorgrond!"

© Bert Janssen, 2012.

In mijn boek 'Het Ordenend Principle' kun je meer lezen over het enorme belang van Pi.

Ik nodig je uit om samen met mij de te ondernemen en het geheim te ontdekken.